Kerr–Newman Metriği: Yüklü ve Dönen Kütlelerin Uzay Zaman Geometrisi

Einstein–Maxwell Denklemlerinin Yüklü Çözümü

Kerr–Newman metriği, genel relativitede yüklü ve dönen kütlelerin çevresindeki uzay zaman geometrisini tarif eden Einstein–Maxwell denklemlerinin bir çözümüdür. Bu çözümün astrofizik alanında pek faydalı sayılmadığı, aksine daha çok teorik fizik ve matematiksel ilginin bir soncu olduğu belirtilmektedir. Bunun nedeni, gözlemlenebilen astronomik nesnelerin kayda değer bir net yük taşımamasıdır.

Tarihçe ve Çözüm Ailesi

1965 yılında Ezra “Ted” Newman, hem dönen hem de yüklü kara delikler için Einstein’ın alan denklemlerinin axisimetrik çözümünü buldu. Metrik tensor için bu formül Kerr–Newman metriği adını aldı. Bu çözüm, iki yıl önce Roy Kerr tarafından bulunan yüksüz ama dönen noktasal kütle için olan Kerr metriğinin geliştirilmiş halidir.

Bu dört çözüm elektrik yükünü gösteren Q ve açısal momentumu simgeleyen J kullanılarak özetlenebilir.

Matematiksel Formu

Kerr–Newman metriği, Q yükü ve M kütlesiyle dönen bir kütlenin civarındaki geometriyi tarif eder. Metrik için formül, hangi koordinatların veya koordinat kollarının seçildiğine dayanır. Metriği tarif etmenin yollarından biri, çizgi elementini belirli silindirik koordinatlarda, yani Boyer–Lindquist koordinatları olarak da bilinen koordinatlarda yazmaktır.

(r, θ, ϕ) koordinatları standart küresel koordinat sistemi ve uzunluk ölçüsü olarak kullanılır. Bu çerçevede α, J açısal momentumu, M kütleyi ve c ışık hızını içeren J/Mc olarak tanımlanır. ρ² ifadesi r² + α²cos²θ formülüyle, Δ ise r² − rₛr + α² + rQ² formuyla ifade edilir.

Burada rₛ, Schwarzschild yarıçapıdır ve 2GM/c² olarak hesaplanır. G kütleçekim sabitiyken, rQ kütlenin elektriksel yükü Q’ya denk gelen uzunluğu temsil eder ve Q²G/(4πε₀c⁴) formülüyle bulunur. 1/4πε₀ ise Coulomb kuvvet sabitidir.

Alternatif Metrik Formları

İzole edilmiş metrik tensör kullanılarak Kerr–Newman metriğinin başka bir formu elde edilebilir. Bu formülde metrik tensör bileşenleri, Δ, α, ρ ve trigonometrik terimlerin karmaşık bir kombinasyonu olarak yazılır.

Ayrıca Kerr–Newman metriği, belirli bir kartezyen koordinat sistemi kullanılarak “Kerr–Schild” formunda da ifade edilebilir. Bu çözümler Kerr ve Schild tarafından 1965 yılında yayınlanmıştır. Bu formülde metrik tensör, η Minkowski tensorü ile k birim vektörünün katmanı olarak yazılır. Burada f ifadesinde G, r, a ve Q terimleri yer alırken, k vektörü koordinatlarla ilişkilendirilir.

Bu formülasyonda M dönen cismin sabit kütlesini, Q ise sabit yükünü temsil eder. a, dönen cismin sabit rotasyonel parametresidir ve a vektörünün pozitif z-ekseni doğrultusunda olduğu anlaşılır. Bu koordinat sistemde r, yarıçap değil, x, y, z değişkenleriyle belirlenen bir niceliktir.

Bu açıklama Vikipedi kaynaklarından uyarlanmıştır ve şu lisans altında sunulur: CC BY-SA 4.0.